Курс лекций по высшей математике Определенный Интеграл

Следствие Витали

Если система невырожденных отрезков  покрывает ограниченное множество Е в смысле Витали, то >0  отрезки iв конечном числе, которые попарно пересекаются и .

Доказательство

Теорема 3

Если f интегрируема по Курцвейлю-Хенстоку на [a,b], то ее интеграл с переменным верхним пределом  дифференцируем на [a,b] почти всюду и F’(x)=f(x) почти всюду на [a,b].

Доказательство

. В точках, где не выполняется равенство Свойства несобственных интегралов второго рода

.

Пусть  все точки, где не выполняется , входят в . Докажем, что . Пусть  один из концов  – точка из Em, обозначим х, и .

Система  покрывает Em в смысле Витали. Выберем >0. Найдем (х)>0 на [a,b]:  (T,) согласованное с (х) и с ii: . Тогда

по Следствию 1  (T,) согласованное с (х) и с ii:

Пусть  один из концов  – точка х из Em и ,  покрывает Em в смысле Витали.

По Следствию 3  отрезки  в конечном числе из , которые попарно не пересекаются и . Для каждого  выберем в качестве отмеченной точки  тот его конец, который из Em и . При этом . Все отрезки между  разобьем согласованно с (х) и так, что ii. В итоге получим согласованное разбиение (T,) с (х) (с отмеченными точками ii) отрезка [a,b]  . Значит верхняя мера  . В итоге, из-за произвольности >0 .

Следствие 4

Если f интегрируема на [a,b] по Мак-Шейну, то ее интеграл с переменным верхним пределом  дифференцируем на [a,b] почти всюду и почти всюду на [a,b] .