Курс лекций по высшей математике Определенный Интеграл

Теорема аддитивность интеграла по отрезку

Если f интегрируема по R (М-Ш, К-Х) на [a,b] и [b,c], то f интегрируема в том же смысле на [a,c] и .

Доказательство

Докажем теорему для случая интеграла Римана.

Возьмем >0 и найдем такое >0: для  разбиений (T1,1) отрезка [a,b] с i1i1 и |i1|<для  i: . Найдем такое >0: для  разбиений (T2,2) отрезка [b,c] с i1i1 и |i1|<для  i: . Т.к. f ограниченна на [a,b] и [b,c] (в силу интегрируемости по R) f ограниченна на [a,с]. Возьмем >0, и . Приложения определённого интеграла к геометрическим вычислениям Площадь области, лежащей между двумя графиками Найдём площадь ограниченной области, лежащей между графиками и .

Пусть (T,) произвольное отмеченное разбиение [a,с] с ii и |i|< для  i.

 точка разбиения – интегральная сумма, соответствующая [a,b], – интегральная сумма, соответсвующая [b,c]. Они отличаются от  меньше чем на 

2) . Пусть  с добавленной точкой b дважды, как отмеченной точки отрезков  и . Тогда имеем, что . Значит . Т.е. для случая R все доказано.

Докажем теперь теорему для случая интегралов Мак-Шейна и Курцвейля-Хенстока.

Возьмем >0 и найдем такое 1(x)>0 на [a,b]: для  разбиений (T1,1) отрезка [a,b] с (i1i1 для К-Х) , где ; x>0 на [b,c]: для  разбиений (T2,2) отрезка [b,c] с (i2i2 для К-Х) , где .

Положим . Возьмем произвольное разбиение отрезка [а,c] (T,), согласованное с (x) (и ii). Точка b принадлежит отрезкам (двум или одному) i разбиения T и соответствующим этим отрезкам точки i совпадают с b (т.к. ).

1) b=ai – элементы разбиения . Пусть . Это отмеченное разбиение [a,b], согласованно с (x)1(x). Пусть . Это отмеченное разбиение [b,c], согласованно с (x)2(x). При этом   .

2) . Пусть  , отрезкам i, ij соответсвуют те же точки i, а отрезкам разбиения [ai-1,b] и [b, ai] будет соответствовать точка b. Так получим отмеченное разбиение , согласованное с (x) (для К-Х отмеченные точки  соответствующим им отрезкам). При этом . По случаю 1) имеем, что .

.